L'angolo della scuola

Metodo di risoluzione delle equazioni con il valore assoluto

#8753 Il 03/10/2016 Bett.a di 14 anni ha scritto:
ciaoo,quando ho ad esempio | x|-1=6;|4x-5/2 -2|=3/2;come le risolvo?

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La mia risposta:

Ciao Betta!
Esistono tanti modi di trattare il valore assoluto, dipende anche da quale classe frequenti. Ti dirò, comunque, quello che solitamente viene utilizzato in primo (presumo che tu sia a inizio secondo data la tua età, il periodo dell'anno e l'argomento).
Avete fatto i sistemi con una disequazione e un'equazione, giusto? Questo metodo li coinvolge. C'è un metodo più semplice ma si fa solitamente in terzo e non mi sento di spiegartelo ora, non vorrei confonderti le idee se usi quello più lungo.

Partiamo dal presupposto che il valore assoluto di x, cioè |x| è pari a x se  x>0, 0 se x = 0 e -x se x<0.
In altre parole, immaginiamo che il x sia uguale a -3 (noi però non lo sappiamo), e che quindi |x| significhi |-3|:

|-3| è minore di 0, quindi il valore assoluto è uguale a -x cioè -(-3), il suo opposto: +3. Infatti il valore assoluto è un operatore che rende il numero positivo.
Se x è invece pari a 6, ad esempio, |6| = 6 perché dato che 6>0, il segno rimane invariato.

In ogni caso queste sono informazioni che è necessario ricapitolare ma che trovi sicuramente nel tuo libro e che sicuramente ti sono state spiegate.
Detto questo, noi abbiamo |x| e non sappiamo se la x sia positiva, negativa o uguale a 0; quindi dobbiamo esaminare tutti i casi. Ne riusciranno, di conseguenza, 3 sistemi: 1 che comprende x>0 e quello che succede in quel caso, uno che comprende x=0 e ciò che succede in quell'altro caso, e uno che comprende x<0  e ciò che succede in quel caso.

Facciamo un esempio con il tuo esercizio, il primo perché essendo al computer mi è complicato fare le frazioni e potrei rischiare di rendere la risposta incomprensibile (in ogni caso con le frazioni è la stessa identica cosa, ma devi fare prima il mcm fra tutti i numeri nel valore assoluto per comodità).

|x|-1=6

Prima di tutto isoliamo il valore assoluto, portando il termine noto all'altro membro:

|x|=7

I 3 casi possibili sono x>0, x=0 e x<0 e per ognuno dei 3 la situazione è diversa poiché se x è positivo, rimane uguale; se è uguale a 0, anche col valore assoluto rimane uguale a 0, e se è minore di 0 una volta risolto il valore assoluto bisogna cambiare i segni (ora abbiamo una x sola, ma in quel caso se avessimo ad esempio x-1 diventerebbe -x+1). Facciamo quindi i tre sistemi; io non indicherò le parentesi perché sono al computer ma fai finta che ci siano.

1)
x>0
x=7

La x è rimasta invariata, positiva, perché ci stiamo occupando del caso in cui è maggiore di 0 e quindi il valore assoluto rimane uguale a se stesso. Il sistema dà soluzioni, perché 7, la x, è maggiore di 0, quindi questa è una possibile soluzione.

2)
x=0
0=7

Questo sistema è impossibile perché 0 non è uguale a 7, ovviamente. Quindi sappiamo che x non può essere uguale a 0.

3)
x<0
-x=7 ---> x=-7

-7 è minore di 0, quindi questo sistema dà soluzioni.

Le possibili soluzioni sono quindi:
x=7 se x>0
e x=-7 se x<0

Nota bene che in questo caso le soluzioni sono risultate opposte, ma non è detto che accada.

Spero di essere stata chiara, se ti serve altro riscrivi pure!
Ciao!

Delia

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