Dimostrazioni per assurdo in senso geometrico e filosofico
#4428
Il 18/05/2015 Petroni di 17 anni ha scritto:
Bella fogni! Mi spieghi la dimostrazione per assurdo? Come funziona?La nostra risposta:
Attenzione: questa risposta è stata inserita molto tempo fa, quindi i siti esterni indicati potrebbero non essere più validi.
Ciao :)
Abbiamo dovuto cambiare il nick con il quale hai scritto perché eravamo in dubbio se fosse o meno il tuo cognome; ricorda di non scrivere il tuo cognome su Internet per la sicurezza ;)
Noi abbiamo inteso due tipi di dimostrazione per assurdo: ci sono quella geometrica matematica e quella nel linguaggio filosofico.
Per quanto riguarda la dimostrazione per assurdo in matematica, prendiamo l'esempio di dover dimostrare un teorema di geometria.
Quando dimostri un teorema tu hai delle ipotesi, che sono come i presupposti; stai cercando di dimostrare una tesi.
Nella dimostrazione per assurdo, tu, che sai che la tesi è vera e la devi appunto dimostrare, fingi che sia falsa e quindi affermi il contrario.
Arriverai a una contraddizione, a un certo punto: la tesi contraria a quella che devi dimostrare, quella finta, affermerà qualcosa che va contro le ipotesi. Tuttavia tu sai che le ipotesi sono sicuramente vere; e quindi la tesi falsa è appunto falsa e può essere vera solo quella originale, che quindi hai dimostrato.
Dimostriamo per esempio il secondo criterio di congruenza dei triangoli: te lo ricordi?
Il nostro enunciato è che due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti due angoli e il lato fra essi compreso.
Disegna due triangoli congruenti, ABC e DEF.
Le nostre ipotesi sono le seguenti:
1) ABC e DEF sono triangoli
2) l'angolo in A è congruente all'angolo in D
3) AB è congruente a DE
4) l'angolo in B è congruente all'angolo in E
La tesi che dobbiamo dimostrare è ABC congruente a DEF.
Mi raccomando, quando disegni i triangoli, a sistemare le lettere in senso antiorario.
Facciamo finta che i due triangoli non siano congruenti, negando la tesi; questo significa che c'è sicuramente un triangolo che ha un lato maggiore dell'altro.
Supponiamo che, per esempio, AC > DF; allora esiste su AC un punto P tale che AP = DF. Giusto? Ci sei fin qui?
Quindi, sempre nella nostra dimostrazione per assurdo, abbiamo che AP = DF (attenzione, questo non è il segno della congruenza, qui al computer non ce l'ho; però dovresti scrivere un uguale con una piccola onda sopra). Avremmo dunque AP = DF; l'angolo in A congruente all'angolo in D; AB congruente a DE, sempre per ipotesi, e per il 1° criterio i triangoli sarebbero congruenti.
In particolare, l'angolo ABP sarebbe congruente all'angolo in E.
Ma l'angolo ABP è solamente una parte dell'angolo in B che abbiamo detto essere congruente all'angolo in E; quindi l'angolo in E può essere congruente a un angolo e una parte di quell'angolo? Ovviamente no!
A questo punto le nostre ipotesi dovrebbero essere false, l'angolo in B non dovrebbe essere congruente all'angolo in E, però noi sappiamo che sono certamente vere.
Quindi la spiegazione è una sola: la tesi dimostrata fino ad ora è falsa. Quindi, se non è vero che ABC non è congruente a DEF, è sicuramente vero che i due triangoli sono congruenti.
Spero di essere stata chiara per la dimostrazione in senso geometrico!
In senso filosofico invece, mi limiterò a darti alcune indicazioni, perché la dimostrazione per assurdo mette in campo moltissimi dei concetti della branca della logica, dal principio del tertium non datur, al sillogismo aristotelico, al modus tollens etc.. Ma non sapendo quali sono le tue conoscenze al riguardo, non potrò essere troppo approfondita (poi ti segnalo il link per occuparti nel dettaglio della questione).
Anche in filosofia, si parte dallo stesso presupposto; dimostrare la veridicità di una tesi partendo dall'accettazione ipotetica della sua antitesi, e mostrando come ne derivino conseguenze assurde ed inaccettabili. Si prende per vera l'antitesi opposta alla tesi avanzata e la si smentisce in base alle conseguenze assurde che ne derivano; ne viene che la tesi iniziale deve necessariamente risultare vera.
Lo schema logico della dimostrazione per assurdo è quello del modus tollens, ossia un sillogismo aristotelico (per la definizione di sillogismo, controlla qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Sillogismo) di tipo ipotetico, che procede nella forma del 'se A... allora B'. Di questo tipo quindi (nel link che ti segnalerò alla fine ci sono anche i connettivi logici utilizzati): Se la proposizione p è vera, allora è vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q è falsa. Allora è falsa la proposizione p.”
Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dell’antecedente p.
Ecco, la negazione del conseguente che porta alla negazione dell'antecedente è il punto principale attraverso cui procede la dimostrazione per assurdo:
abbiamo detto che in questo procedimento logico si parte dall'accettazione ipotetica di una proposizione che contraddice (non-A) la tesi vera (A): da questa ipotesi si ricava un risultato logicamente vero ma che contraddice altre proposizioni vere, dimostrando l'assurdità dell'antitesi inizialmente considerata ipoteticamente vera. Si arriva cosi alla conclusione che non sono le conseguenze dell'antitesi ad essere false (che sono invece logicamente vere), ma l'antitesi stessa. In altri termini, ciò vorrà dire che l’ipotesi formulata (ossia la proposizione non-A) era assurda e quindi – per il principio logico del terzo escluso – si avrà che vale invece l’ipotesi opposta (cioè la proposizione A).
Per spiegazioni più approfondite, leggi qui:
http://www.webalice.it/claudiusdubitatius/Quadruvium/Dimostr_Assurdo.htm#Il_paradosso_di_Achille_e_della_tartaruga
Spero di essere stata abbastanza chiara, ma purtroppo sono concetti difficili e complessi da spiegare qui, e che richiedono trall'altro una certa conoscenza filosofica di base.
A presto!
Abbiamo dovuto cambiare il nick con il quale hai scritto perché eravamo in dubbio se fosse o meno il tuo cognome; ricorda di non scrivere il tuo cognome su Internet per la sicurezza ;)
Noi abbiamo inteso due tipi di dimostrazione per assurdo: ci sono quella geometrica matematica e quella nel linguaggio filosofico.
Per quanto riguarda la dimostrazione per assurdo in matematica, prendiamo l'esempio di dover dimostrare un teorema di geometria.
Quando dimostri un teorema tu hai delle ipotesi, che sono come i presupposti; stai cercando di dimostrare una tesi.
Nella dimostrazione per assurdo, tu, che sai che la tesi è vera e la devi appunto dimostrare, fingi che sia falsa e quindi affermi il contrario.
Arriverai a una contraddizione, a un certo punto: la tesi contraria a quella che devi dimostrare, quella finta, affermerà qualcosa che va contro le ipotesi. Tuttavia tu sai che le ipotesi sono sicuramente vere; e quindi la tesi falsa è appunto falsa e può essere vera solo quella originale, che quindi hai dimostrato.
Dimostriamo per esempio il secondo criterio di congruenza dei triangoli: te lo ricordi?
Il nostro enunciato è che due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti due angoli e il lato fra essi compreso.
Disegna due triangoli congruenti, ABC e DEF.
Le nostre ipotesi sono le seguenti:
1) ABC e DEF sono triangoli
2) l'angolo in A è congruente all'angolo in D
3) AB è congruente a DE
4) l'angolo in B è congruente all'angolo in E
La tesi che dobbiamo dimostrare è ABC congruente a DEF.
Mi raccomando, quando disegni i triangoli, a sistemare le lettere in senso antiorario.
Facciamo finta che i due triangoli non siano congruenti, negando la tesi; questo significa che c'è sicuramente un triangolo che ha un lato maggiore dell'altro.
Supponiamo che, per esempio, AC > DF; allora esiste su AC un punto P tale che AP = DF. Giusto? Ci sei fin qui?
Quindi, sempre nella nostra dimostrazione per assurdo, abbiamo che AP = DF (attenzione, questo non è il segno della congruenza, qui al computer non ce l'ho; però dovresti scrivere un uguale con una piccola onda sopra). Avremmo dunque AP = DF; l'angolo in A congruente all'angolo in D; AB congruente a DE, sempre per ipotesi, e per il 1° criterio i triangoli sarebbero congruenti.
In particolare, l'angolo ABP sarebbe congruente all'angolo in E.
Ma l'angolo ABP è solamente una parte dell'angolo in B che abbiamo detto essere congruente all'angolo in E; quindi l'angolo in E può essere congruente a un angolo e una parte di quell'angolo? Ovviamente no!
A questo punto le nostre ipotesi dovrebbero essere false, l'angolo in B non dovrebbe essere congruente all'angolo in E, però noi sappiamo che sono certamente vere.
Quindi la spiegazione è una sola: la tesi dimostrata fino ad ora è falsa. Quindi, se non è vero che ABC non è congruente a DEF, è sicuramente vero che i due triangoli sono congruenti.
Spero di essere stata chiara per la dimostrazione in senso geometrico!
In senso filosofico invece, mi limiterò a darti alcune indicazioni, perché la dimostrazione per assurdo mette in campo moltissimi dei concetti della branca della logica, dal principio del tertium non datur, al sillogismo aristotelico, al modus tollens etc.. Ma non sapendo quali sono le tue conoscenze al riguardo, non potrò essere troppo approfondita (poi ti segnalo il link per occuparti nel dettaglio della questione).
Anche in filosofia, si parte dallo stesso presupposto; dimostrare la veridicità di una tesi partendo dall'accettazione ipotetica della sua antitesi, e mostrando come ne derivino conseguenze assurde ed inaccettabili. Si prende per vera l'antitesi opposta alla tesi avanzata e la si smentisce in base alle conseguenze assurde che ne derivano; ne viene che la tesi iniziale deve necessariamente risultare vera.
Lo schema logico della dimostrazione per assurdo è quello del modus tollens, ossia un sillogismo aristotelico (per la definizione di sillogismo, controlla qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Sillogismo) di tipo ipotetico, che procede nella forma del 'se A... allora B'. Di questo tipo quindi (nel link che ti segnalerò alla fine ci sono anche i connettivi logici utilizzati): Se la proposizione p è vera, allora è vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q è falsa. Allora è falsa la proposizione p.”
Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dell’antecedente p.
Ecco, la negazione del conseguente che porta alla negazione dell'antecedente è il punto principale attraverso cui procede la dimostrazione per assurdo:
abbiamo detto che in questo procedimento logico si parte dall'accettazione ipotetica di una proposizione che contraddice (non-A) la tesi vera (A): da questa ipotesi si ricava un risultato logicamente vero ma che contraddice altre proposizioni vere, dimostrando l'assurdità dell'antitesi inizialmente considerata ipoteticamente vera. Si arriva cosi alla conclusione che non sono le conseguenze dell'antitesi ad essere false (che sono invece logicamente vere), ma l'antitesi stessa. In altri termini, ciò vorrà dire che l’ipotesi formulata (ossia la proposizione non-A) era assurda e quindi – per il principio logico del terzo escluso – si avrà che vale invece l’ipotesi opposta (cioè la proposizione A).
Per spiegazioni più approfondite, leggi qui:
http://www.webalice.it/claudiusdubitatius/Quadruvium/Dimostr_Assurdo.htm#Il_paradosso_di_Achille_e_della_tartaruga
Spero di essere stata abbastanza chiara, ma purtroppo sono concetti difficili e complessi da spiegare qui, e che richiedono trall'altro una certa conoscenza filosofica di base.
A presto!
Delia, Corin
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